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八年级数学:要具备将几何题目转化到代数问题的思维和能力

展开全文进入到高年级以后,几何图形类题目与代数问题的融合越来越紧密,八年级上学期的数学,《全等三角形》、《轴对称图形》看似简单,都是一些以前接触过的概念定理,实则是之后学习的基础中的基础,这个阶段,学习的本质是探索、求证、归纳前人得到的结论
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进入到高年级以后,几何图形类题目与代数问题的融合越来越紧密,八年级上学期的数学,《全等三角形》、《轴对称图形》看似简单,都是一些以前接触过的概念定理,实则是之后学习的基础中的基础,这个阶段,学习的本质是探索、求证、归纳前人得到的结论,学会他们的数学思想、思考方法,还有数学家看问题的眼光和角度,用到我们未来的数学学习之路上。当然,这个是尽可能去体悟的!

就像刚才说的,学习《全等三角形》一节,如果只是停留在表面,会感觉很简单,但其实,如果融合一些其他的知识点,题目的难度瞬间就提升起来了。不过,今天选择的这个例题不算难,主要能达到训练数学思维的目的就最好了。

如图,在△ABC中,∠B = ∠C,AB=AC=10cm,BC=8cm,D为AB的中点。

(1)如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A运动。

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相同,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等?请说明理由;

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相同,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?

(2)若点Q以(1)②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都以逆时针方向在△ABC三边上进行圆周运动,经过多长时间后,点P与点Q第一次相遇?相遇点在△ABC的哪条边上?

解题思路简述:

首先题目很长,因此平时要训练快速读题,并能快速找出已知的、有用的答题条件的能力。表面上看是几何题,又有相遇、追击关系,实际上是融合了行程问题的数量关系。

①中用时间和速度可以求出构成两个三角形的两组对边的长度,因为两点的运动速度相等,所以BP=CQ=3×1=3cm,CP=8-3=5cm=BD,∠B = ∠C,根据“边角边SAS”定理判定两个三角形全等即可;

②中,两点速度不同,显然BP不能等于CQ,因此要想使△BPD与△CQP全等,对应边就必须变化了,要找特殊点,也就是P为BC的中点,要让BP=CP=4cm,BD=CQ=5cm,此时,P点运动时间为(4÷3)秒,Q点要在三分之四秒运动5cm(路程),速度自然也就知道了(四分之十五)米/秒;

第(2)问给出的条件,很显然就是一个代数里的行程类的追击问题,

公式:追击时间×速度差=追击路程,

Q点速度(四分之十五)快于P点速度3cm/s(即四分之十二),追击的路程也就是CA与AB两边的长度共20cm,速度差也可知道(四分之三),由此求出它们第一次相遇的时间为三分之八十秒,再求出P点的运动路程为80cm,由于它们是在△ABC(周长可求,为28cm)的边上运动,也就是P点距离出发点(B点)4cm,因此,P、Q点经过三分之八十秒时第一次相遇,相遇点在边AB上。

题目就说到这里,学习数学,最关键的还是,遇到题目会怎么去想,解完一些典型的题目之后能否有什么感悟,能否做一个像样的的归纳、总结,这才是进步与否的指标。

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